Question

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）若AB=

2

CE，在線段EO上是否存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接OF，由中位線定理得到OF∥DE，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）假設(shè)在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE．作CG⊥OE于點(diǎn)G，再由線面垂直的判定和性質(zhì)得到CG⊥平面BDE，由AB=

2

CE，推出CO=CE，從而得到G為EO的中點(diǎn)，故假設(shè)成立．

解答： （1）證明：連接OF，由四邊形ABCD是正方形可知，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
又F為BE的中點(diǎn)，
∴OF∥DE，
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
∴DE∥平面ACF；
（2）解：假設(shè)在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE．
由于CG⊥平面BDE，則必有CG⊥DE，
于是作CG⊥OE于點(diǎn)G，
∵EC⊥底面ABCD，
∴CE⊥BD，又底面是正方形，∴BD⊥AC，EC∩AC=C
∴BD⊥平面ACE，而CG?平面ACE，∴BD⊥CG，
又OE∩BD=O，∴CG⊥平面BDE
又AB=

2

CE，∴CO=

2

2

AB=CE，
∴G為EO的中點(diǎn)，∴

EG

EO

=

1

2

．
故在線段EO上存在點(diǎn)G，且為中點(diǎn)，使CG⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定和性質(zhì)，同時(shí)考查存在性問(wèn)題的解法，屬于中檔題．