Question

若對任意的n∈N^*，存在正常數(shù)M，恒有|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|≤M成立，則{b_n}叫做Γ數(shù)列．
（1）若公差為d的等差數(shù)列{a_n}是Γ數(shù)列，求d的值；
（2）記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明：若{S_n}是Γ數(shù)列，則{b_n}也是Γ數(shù)列；
（3）若首項為1，公比為q的等比數(shù)列{b_n}是Γ數(shù)列，當M=2時，求實數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|=（n-1）d≤M，即可求得d=0；
（2）由{S_n}是Γ數(shù)列得，可得|b_n|+|b_n-1|+…+|b₂|≤M，所以可求得|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|≤=2M+|b₁|，即可證明{b_n}是Γ數(shù)列；
（3）由題意可得若對任意的n∈N^*，|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

≤2成立，則必有|q|＜1，所以|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

＜

|q-1|

1-|q|

≤2，討論可解得q的取值范圍．

解答： （1）由題意|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|=（n-1）d≤M，
由n的任意性，得d=0，
（2）由{S_n}是Γ數(shù)列得，存在正常數(shù)M，
恒有|S_n-S_n-1|+|S_n-1-S_n-2|+…+|S₂-S₁|≤M成立，
即|b_n|+|b_n-1|+…+|b₂|≤M，
所以|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|
≤|b_n|+2|b_n-1|+2|b_n-2|+…+2|b₂|+|b₁|
≤2|b_n|+2|b_n-1|+2|b_n-2|+…+2|b₂|+|b₁|
=2M+|b₁|，
因為2M+|b₁|是正常數(shù)，所以{b_n}是Γ數(shù)列．
（3）由（1）知當q=1時{b_n}是Γ數(shù)列，
顯然當q=-1時{b_n}不是Γ數(shù)列．
|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|
=|q|^n-2•|q-1|+|q|^n-3•|q-1|+…+|q-1|
=|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

，
若對任意的n∈N^*，|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

≤2成立，則必有|q|＜1，
所以|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

＜

|q-1|

1-|q|

≤2，
當0＜q＜1時，上式恒成立；
當-1＜q＜0時，上式化為

1-q

1+q

≤2，解得-

1

3

≤q＜0．
所以，q的取值范圍是[-

1

3

，0）∪（0，1]．

點評：本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考察了數(shù)列的函數(shù)特性及不等式的解法，屬于中檔題．