Question

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，寫出n=1，2，3，4的值，歸納并猜想出結(jié)果，你能證明你的結(jié)論嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：依題意，令n=1，2，3，4，得到相應(yīng)的值，觀察，即可猜想出結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和驗(yàn)證即可．

解答： 解：n=1時(shí)，

1

1×2

=

1

2

；n=2時(shí)，

1

1×2

+

1

2×3

=

1

2

+

1

6

=

2

3

；
n=3時(shí)，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=

2

3

+

1

12

=

3

4

；n=4時(shí)，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=

3

4

+

1

20

=

4

5

．
觀察所得結(jié)果：均為分?jǐn)?shù)，且分子恰好等于和式的項(xiàng)數(shù)，分母都比分子大1．
所以猜想

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
證明如下：
由

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，…，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查推理運(yùn)算能力，突出列項(xiàng)相消法的考查，屬于中檔題．