Question

設(shè)函數(shù)表示f(x)導(dǎo)函數(shù)。
(I)求函數(shù)一份（x）)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)k為偶數(shù)時，數(shù)列{}滿足．證明：數(shù)列{}中
不存在成等差數(shù)列的三項；
(Ⅲ)當(dāng)后為奇數(shù)時，證明：對任意正整數(shù)，n都有成立．

Answer 1

（1）當(dāng)k為奇數(shù)時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)k為偶數(shù)時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）見解析（3）見解析

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
又                  
當(dāng)k為奇數(shù)時，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為                    
當(dāng)k為偶函數(shù)時，
由>0，得x-1>0,∴x>1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
綜上所述：當(dāng)k為奇數(shù)時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)k為偶數(shù)時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為                                        
（Ⅱ）當(dāng)k為偶數(shù)時，由（Ⅰ）知
所以
根據(jù)題設(shè)條件有
∴{ }是以2為公式的比例數(shù)列                
假設(shè)數(shù)列{}中存在三項，，，成等差數(shù)列
不妨設(shè)r<s<t，則2=+
即
又 
（Ⅲ）當(dāng)k為奇數(shù)時       
方法二：（數(shù)學(xué)歸納發(fā)）
當(dāng)n=1是，左邊=0，右邊=0，顯然不等式成立
設(shè)n=k+1時：



又

n=k+1時結(jié)論成立。
綜上，對一切正整數(shù)n結(jié)論成立。