Question

（2007•無(wú)錫二模）如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=A₁B=2CD，側(cè)面A₁ADD₁為正方形．
（1）求直線(xiàn)A₁A與底面ABCD所成角的大�。�
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大�。�
（3）在棱C₁C上是否存在一點(diǎn)P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，試說(shuō)明點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）做出輔助線(xiàn)，根據(jù)面面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而得到線(xiàn)面垂直，得到∠A₁AB為直線(xiàn)A₁A與平面ABCD所成的角．求出結(jié)果
（2）做出輔助線(xiàn)，過(guò)O作OH⊥A₁B，垂足為H，連接CH．根據(jù)OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，得到CO⊥平面AA₁B₁B．得到∠CHO為二面角C-A₁B-A的平面角，在三角形求出角的正切值
（3）結(jié)論是存在．當(dāng)點(diǎn)P為棱C₁C中點(diǎn)時(shí)，D₁P∥平面A₁BC．根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理整出結(jié)論．

解答：解：（1）取AB中點(diǎn)O，連接A₁O．設(shè)AB=a．∵AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A，
∴AD⊥平面AA₁B₁B，AD?而ABCD∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD．
∵AB=AA₁=A₁B=a，∴A₁O⊥AB，∴A₁O⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB為直線(xiàn)A₁A與平面ABCD所成的角．
∵∠A₁AB=60°，∴直線(xiàn)A₁A與平面ABCD所成角的大小為60°
（2）過(guò)O作OH⊥A₁B，垂足為H，連接CH．∵OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，
∴CO⊥平面AA₁B₁B．
∵OH⊥A₁B，∴CH⊥A₁B．∴∠CHO為二面角C-A₁B-A的平面角．
在正△A₁AB中，OH=OBsin∠A1BA=OBsin60°=

a

2

•

3

2

=

3

4

a，
在Rt△COH中，OC=a，tan∠CHO=

OC

OH

=

a

3 4 a

=

4

3

3

．
∴二面角C-A₁B-A正切值的大小為

4

3

3

．
（3）存在．當(dāng)點(diǎn)P為棱C₁C中點(diǎn)時(shí)，D₁P∥平面A₁BC．
證明如下
延長(zhǎng)D₁P與DC交于Q，連接BQ，∵點(diǎn)P為棱C₁C中點(diǎn)，
∴PC為△D₁DQ的中位線(xiàn)．∴QC=DC．
由條件，得四邊形ABQD為正方形．
∴BQ=AD=A₁D₁，且BQ∥AD∥A₁D₁．
則四邊形A₁BQD₁是平行四邊形．
∴D₁P∥A₁B．∵D₁P?平面A₁BC．A₁B?平面A₁BC．
∴D₁P∥平面A₁BC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．