Question

9、用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖），當(dāng)容器的容積最大時(shí)，該容器的高為（　�。�

A、8cm

B、9cm

C、10cm

D、12cm

Answer 1

分析：設(shè)容器的高為xcm，得容器的容積為V（x）與x之間的關(guān)系，為三次函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)容器的高為xcm，容器的容積為V（x）cm³，則
V（x）=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x（0＜x＜24），
∵V′（x）=12x²-552x+4320，
由12x²-552x+4320=0得x=10或x=36（舍），
∵當(dāng)0＜x＜10時(shí)，V′（x）＞0，當(dāng)10＜x＜24時(shí)，V′（x）＜0，
∴當(dāng)x=10時(shí)，V（x）在區(qū)間（0，24）內(nèi)有唯一極大值，
∴容器高x=10cm時(shí)，容器容積V（x）最大．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值問題中的應(yīng)用，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，若f（a）=0：a的左側(cè)f'（x）＞0，a的右側(cè)f'（x）＜0，則a是極大值點(diǎn)．