Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點(diǎn)
（1）證明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-MC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系得到AC⊥BC；再結(jié)合PA⊥底面ABCD得到PA⊥BC即可得BC⊥平面PAC；進(jìn)而得到平面PBC⊥平面PAC；
（2）先過A作AE⊥PC交于點(diǎn)E，得到AE⊥平面PBC，再過A作AF⊥CM交于點(diǎn)F，得到∠AFE即為二面角A-MC-P的平面角；再通過求邊長(zhǎng)得到∠AFE的余弦值，最后求其補(bǔ)角即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由條件知：BC=AC=

2

，AB=2，
∴BC²+AC²=AB²，∴AC⊥BC，…（2分）
又∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC…（1分）
又∵AC∩PA=A
∴BC⊥平面PAC…（1分）
又∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC…（1分）
（2）過A作AE⊥PC交于點(diǎn)E，
∵由（1）知平面PBC⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBC，
過A作AF⊥CM交于點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥CM，
∴∠AFE即為二面角A-MC-P的平面角，
在Rt△PAB中，AM=BM=

1

2

PB=

5

2

，又BC=AC=2
∴CM=

1

2

PB=

5

2

在△AMC中，AM=CM=

5

2

，AC=

2

，
利用面積相等，得：AF=

30

5

．
在Rt△AEF中，AE=

6

3

，AF=

30

5

，
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

5

3

，cos∠AFE=

2

3

∴二面角A-MC-B的平面角的余弦值為-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．