Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的方程為，點(diǎn)是拋物線上到直線距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)與軸平行的直線與拋物線交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：直線恒過定點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下過向軸做垂線，垂足為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）此時點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）直線恒過定點(diǎn).（3）4.

【解析】試題分析：(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意點(diǎn)是拋物線上到直線距離最小的點(diǎn)，代入點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)題意當(dāng)求得，當(dāng)時求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，給出直線方程，求恒過點(diǎn)坐標(biāo)（3）轉(zhuǎn)化面積為然后計算即可求得結(jié)果

解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

所以，點(diǎn)到直線的距離.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然.

當(dāng)， 點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為；可得，直線；

當(dāng)時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為

與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

因為， 軸，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因此， 點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)，即時，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得

當(dāng)時，上式對任意恒成立，

此時，直線恒過定點(diǎn)，也在上，

當(dāng)時，直線的方程為，仍過定點(diǎn)，

故符合題意的直線恒過定點(diǎn).

（3）所以

設(shè)的方程為

則 ， ，