四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形,PD⊥平面ABCD.異面直線AD與PB所成角為60°,E為線段PC上一點,PE=2EC.
(1)求PD的長; (2)求二面角P-BD-E的大小.
分析:(1)由已知中四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形,PD⊥平面ABCD.異面直線AD與PB所成角為60°,我們可得△PBC為直角三角形,且∠PBC=60°,BC=3,代入求出PC后,解直角△PDC可得答案.
(2)以D為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系D-xyz,分別求出平面PBD及平面BDE的法向量,代入向量夾角公式,即可得到二面角P-BD-E的大。
解答:解:(1)∵ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,
∴BC⊥PD,BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∴BC⊥PC
∵異面直線AD與PB所成角為60°,BC∥AD
∴在Rt△PBC中,∠PBC=60°,BC=3
故PC=3
3

在Rt△PDC中,CD=3
PD=3
2

(2)以D為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示
則P(0,0,3
2
),A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),
E為線段PC上一點,PE=2EC,故E(0,2,
2

∵PD⊥AC,BD⊥AC,PD∩BD=D
AC⊥平面PBD
AC
=(-3,3,0)為平面PBD的一個法向量
又∵
BD
=(-3,-3,0),
DE
=(0,2,
2

設(shè)向量
a
=(x,y,z)為平面BDE的一個法向量,則
a
BD
=0
a
DE
=0

-3x-3y=0
2y+
2
z=0

令x=1,則
a
=(1,-1,
2

設(shè)二面角P-BD-E的平面角為θ
則|cosθ|=
|
a
AC
|
|
a
|•|
AC
|
=
2
2

二面角P-BD-E的大小為45°
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,其中建立空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是PA的中點.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅱ)求證:PC∥平面BDE.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于E,且BE=
6
3
a,試在AB上找一點F,使EF∥平面PAD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD是正方形,O是該正方形的中心,P是平面ABCD外一點,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面EBD⊥平面PAC;
(3)若PA=AB=4,求四棱錐P-ABCD的全面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

正四棱錐P-ABCD的高為PO,若Q為CD中點,且
OQ
=
PQ
+x
PC
+y
PA
(x,y∈R)
則x+y=
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則這個四棱錐的體積為( 。
A、
1
3
B、1
C、
2
3
D、
4
3

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