Question

已知橢圓的中心在原點，一個焦點為，且長軸與短軸的比為.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點P的橫坐標為1,過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩點A,B.求證:直線AB的斜率為定值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可設橢圓C的方程為：

依題意：且   解得：

故橢圓C的方程為：             

（Ⅱ）由（1）知：P (1，)

由已知知ＰＡ，ＰＢ的斜率必存在，設PA：即：

         PB: 即：        ……6分

   由得：

   設則：  

    故：   同理：      

   直線AB的斜率

                   

  所以：直線AB的斜率為定值．