Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=a，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AC，AC交BD于O．連接EO．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得EO是△PAC的中位線，得PA∥EO，從而得到PA∥平面EDB；
（II）過(guò)F點(diǎn)作FG⊥PC于G，可得FG⊥平面PDE，F(xiàn)G是點(diǎn)F到平面PDE的距離．等腰Rt△PDC中，算出PE長(zhǎng)和△PED的面積，再利用三角形相似算出PF和FG的長(zhǎng)，最后用錐體體積公式，可算出三棱錐P-DEF的體積．
解答：解：（I）連接AC，AC交BD于O．連接EO．
∵底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴在△PAC中，EO是中位線，得PA∥EO．
又∵EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（II）∵PD=DC=a．PD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，
∴Rt△PDC中，，中線a
Rt△PBD中，PB=，且．
∵PD⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD，∴PD⊥BC
又∵BC⊥CD，PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，
∴BC⊥平面PCD，
∴結(jié)合PC⊆平面PCD，得BC⊥PC，
又∵EF⊥PB，∴△PFE∽△PCB，
∴，可得．
過(guò)F點(diǎn)作FG⊥PC于G，
∵△PBC中，F(xiàn)G、BC都與直線PC垂直，∴FG∥BC，
∴FG⊥平面PCD，即FG⊥平面PDE，得FG是點(diǎn)F到平面PDE的距離，
∵△PFG∽△PBC，得，∴．
∴三棱錐P-DEF的體積為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并求錐體體積，考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．