Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax）+（b-2）x（a，b是常數(shù)），此函數(shù)對應的曲線y=f（x）在點（1，-1）處的切線與直線x軸平行．
（Ⅰ）求a，b的值，并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設m≠0，函數(shù)g（x）=

1

3

mx³-mx，x∈（1，2），總存在x₁∈（1，2），x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由于曲線y=f（x）在點（1，-1）處的切線與直線x軸平行，則f′（1）=0，且f（1）=-1，解方程，即可得到a，b，再求出f（x）的地單調區(qū)間，進而得到極值，且為最值；
（Ⅱ）求出f（x）在（1，2）的值域，求出g（x）的導函數(shù)，討論m＞0，m＜0，g（x）的單調性，求出值域，由于任意x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，則f（x）的值域包含在g（x）的值域，列出不等式，解出，再求并集即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（ax）+（b-2）x的導數(shù)為f′（x）=

1

x

+b-2，
由于曲線y=f（x）在點（1，-1）處的切線與直線x軸平行，
則f′（1）=0，且f（1）=-1，
即有1+b-2=0，且lna+b-2=-1，
解得，a=1，b=1；
則f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當0＜xx＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為f（1）=-1；
（Ⅱ）f（x）在（1，2）遞減，f（x）的值域為（ln2-2，-1），
g（x）的導數(shù)為g′（x）=mx²-m=m（x²-1），
當m＞0時，g′（x）＞0在（1，2）成立，g（x）遞增，g（x）的值域為（-

2

3

m，

2

3

m）；
當m＜0時，g′（x）＜0在（1，2）成立，g（x）遞減，g（x）的值域為（

2

3

m，-

2

3

m）．
任意x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，
則在（1，2）內，當m＞0時，（ln2-2，-1）⊆（-

2

3

m，

2

3

m），
即有-

2

3

m≤ln2-2＜-1≤

2

3

m，解得，m≥3-

3

2

ln2；
當m＞0時，（ln2-2，-1）⊆（

2

3

m，-

2

3

m），
即有

2

3

m≤ln2-2＜-1≤-

2

3

m，解得，m≤

3

2

ln2-3．
則m的取值范圍是（-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求極值、最值，考查任意存在性問題注意轉化為求函數(shù)的值域問題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．