已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）若f（2）=2，un=f（2n）（n∈N），求證：un+1＞un（n∈N）.

 

答案：
解析：

（1）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0

由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），

得f（1）=0.

（2）f（x）是奇函數(shù)

證明：因為f（1）=f［（－1）2］=－f（－1）－f（－1）=0

所以f（－1）=0

f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）.

因此，f（x）為奇函數(shù)

（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明un=f（2n）＞0（n∈N）

①當n=1時，u1=f（2）=2＞0；

②假設(shè)當n=k時，uk=f（2k）＞0

那么當n=k+1時，uk+1=f（2k+1）=2f（2k）+2kf（2）=2f（2k）+2k+1＞0.

由以上兩步可知，對任意n∈N，un=f（2n）＞0.

因為un＞0（n∈N）

所以un+1=f（2n+1）=2f（2n）+2nf（2）=2un+2n+1＞un（n∈N）

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f（1-a）+f（2a-3）小于0，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）證明函數(shù)a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求實數(shù)x=1的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且對任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1．若g（x）=f（x）+1-x，則g（2009）=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在實數(shù)集R上的增函數(shù)，且f（1）=0，函數(shù)g（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，且g（4）=g（0）=0，則集合{x|f（x）g（x）≥0}=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f(log
12
3)，c=f（0.2-0.6），則a，b，c的大小關(guān)系
a＞b＞c
a＞b＞c
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案