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已知拋物線C:y2=2px(p>0),直線y=x與拋物線C交于A、B兩點,且線段AB的中點為M(2,2).
(1)求p的值;
(2)設E、F兩點是拋物線C上異于原點O的兩個不同點,直線OE和直線OF的傾斜角分別為α和β,當α,β變化且α+β為定值θ(0<θ<π)時,證明:直線EF恒過定點,并求出該定點的坐標.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)聯立
y2=2px,p>0
y=x
,得x2-2px=0,由此利用韋達定理和中點坐標公式能求出p=2.
(2)設E(x3,y3),F(x4,y4),直線AB的方程為y=kx+b,將y=kx+b與y2=4x聯立,得ky2-4y+4b=0,由韋達定理知y3+y4=
4
k
,y3y4=
4b
k
.由此能推導出當θ=
π
2
時,直線AB恒過定點(-4,0);當θ≠
π
2
時,直線AB恒過定點(-4,
4
tanθ
).
解答: (1)解:聯立
y2=2px,p>0
y=x
,得x2-2px=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=2p,
∵線段AB的中點為M(2,2),
x1+x2
2
=p=2.
∴p=2.
(2)證明:設E(x3,y3),F(x4,y4),
由題意得x3≠x4(否則α+β=π)且x3,x4≠0,
所以直線AB的斜率存在,設其方程為y=kx+b,
x3=
y32
4
,x4=
y42
4

將y=kx+b與y2=4x聯立消去x,得ky2-4y+4b=0,
由韋達定理知y3+y4=
4
k
,y3y4=
4b
k
,①
θ=
π
2
時,即α+β=
π
2
時,tanα•tanβ=1,
所以
y3
x3
y4
x4
=1,x3x4-y3y4=0,
y32y42
16
-y3y4=0
,
所以y3y4=16,
由①知:
4b
k
=16
,所以b=4k,
因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,即k(x+4)-y=0,
所以直線AB恒過定點(-4,0);
θ≠
π
2
時,由α+β=θ,
得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
4(y1+y2)
y1y2-16
,
將①式代入上式整理化簡可得:tanθ=
4
b-4k
,
所以b=
4
tanθ
+4k

此時,直線AB的方程可表示為y=kx+
4
tanθ
+4k

即k(x+4)-(y-
4
tanθ
)=0,
所以直線AB恒過定點(-4,
4
tanθ
);
綜上所述:當θ=
π
2
時,直線AB恒過定點(-4,0);
θ≠
π
2
時,直線AB恒過定點(-4,
4
tanθ
).
點評:本題考查拋物線中系數p的求法,考查直線EF恒過定點的證明,并求出該定點的坐標,解題時要認真審題,注意函數與方程思想的合理運用.
練習冊系列答案
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已知A是△ABC三個內角中的最小角.若sinA=
1
3
,則tanA=
 

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若cos(π+A)=
1
3
,那么sin(
3
2
π-A)的值為( 。
A、
1
3
B、-
1
3
C、
2
3
3
D、-
2
3
3

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證明:
(1)sin3α=3sinα-4sin3α;
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已知橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為(2
2
,0),且橢圓Γ上一點M到其兩焦點F1,F2的距離之和為4
3

(Ⅰ)求橢圓Γ的標準方程;
(Ⅱ)設直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點A,B,且|AB|=3
2
.若點P(x0,2)滿足|
PA
|=|
PB
|,求x0的值.

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已知拋物線C的頂點在原點O,焦點與橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點重合.
(1)求拋物線C的方程;
(2)在拋物線C的對稱軸上是否存在定點M,使過點M的動直線與拋物線C相交于P,Q兩點時,都有∠POQ=
π
2
.若存在,求出M的坐標;若不存在,請說明理由.

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設數列{an}滿足:①a1=1;②所有項an∈N*;③1=a1<a2<…<an<an+1<…設集合Am={n|an≤m,m∈N*},將集合Am中的元素的最大值記為bm.換句話說,bm是數列{an}中滿足不等式an≤m的所有項的項數的最大值.我們稱數列{bn}為數列{an}的伴隨數列.例如,數列1,3,5的伴隨數列為1,1,2,2,3.
(1)若數列{an}的伴隨數列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數列{an};
(2)設an=3n-1,求數列{an}的伴隨數列{bn}的前100之和;
(3)若數列{an}的前n項和Sn=
3
2
n2-
1
2
n+c(其中c常數),試求數列{an}的伴隨數列{bn}前m項和Tm

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解方程:5x+5x+1+5x+2=3x+3x+1+3x+2

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x2
a2
-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求a的取值范圍;
(2)設x1=
5
12
x2,求a的值.

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