Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：，其中為實數(shù)，為正整數(shù).

（1）對任意實數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；

（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列.

【解析】

試題（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設(shè)存在，使成等比數(shù)列，則可由來求，若求不出，說明假設(shè)錯誤，結(jié)論是不存在，，但這個式子化簡后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數(shù)列，由題意可先求出的遞推關(guān)系，，這時還不能說明就是等比數(shù)列，還要求出，，只有當(dāng)時，數(shù)列才是等比數(shù)列，因此當(dāng)時，不是等比數(shù)列，當(dāng)時，是等比數(shù)列.

（1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,

即矛盾.

所以不成等比數(shù)列. 6分

（2）因為

9分

又,

所以當(dāng)，，(為正整數(shù))，此時不是等比數(shù)列： 11分

當(dāng)時，，由上式可知，∴(為正整數(shù)) ，

故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，－為公比的等比數(shù)列. 14分