Question

（2011•嘉定區(qū)三模）火山噴發(fā)后，會(huì)在噴發(fā)區(qū)及周邊地區(qū)地面上堆積起大量火山灰．在一次火山噴發(fā)停止后對(duì)地面火山灰的堆積量進(jìn)行測(cè)量，設(shè)定距離噴口中心50m內(nèi)的圓形區(qū)域?yàn)榈?區(qū)，距離噴口中心50m至100m的圓環(huán)形區(qū)域?yàn)榈?區(qū)，距離噴口中心100m至150m的圓環(huán)形區(qū)域?yàn)榈?區(qū)，…，距離噴口中心50（n-1）m至50nm的圓環(huán)形區(qū)域?yàn)榈趎區(qū)…．測(cè)得第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類(lèi)推（題中n∈N*，m表示長(zhǎng)度單位米，kg表示重量單位千克）．
（1）若第n區(qū)平均每平方米火山灰的堆積重量為a_n（kg），寫(xiě)出a_n的表達(dá)式；
（2）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰的總重量最大？

Answer 1

分析：（1）由于第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類(lèi)推，故{a_n}組成以1000為首項(xiàng)，以1-0.02=0.98為公比的等比數(shù)列，從而可求a_n的表達(dá)式；
（2）先求第n區(qū)的面積為b_nm²，再求第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，設(shè)c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，則有

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，從而可得n的值．

解答：解：（1）由題意，∵第1區(qū)火山灰堆積重量平均為1000kg/m²，第2區(qū)火山灰每平方米的平均重量比第1區(qū)減少2%，第3區(qū)比第2區(qū)又減少2%，…，依此類(lèi)推，
∴{a_n}組成以1000為首項(xiàng)，以1-0.02=0.98為公比的等比數(shù)列，…（4分）
所以a_n=1000×0.98^n-1．…（6分）
（2）設(shè)第n區(qū)的面積為b_nm²，
則b_n=π•{（50n）²-[50（n-1）]²}=2500π•（2n-1），…（8分）
則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，…（10分）
設(shè)c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，則有

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，
即

(2n-1)•(0.98)n-1≥(2n-3)•(0.98)n-2 (2n-1)•(0.98)n-1≥(2n+1)•(0.98)n

，解得

99

2

≤n≤

101

2

，
即49.5≤n≤50.5，…（13分）
所以n=50．即第50區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查等比數(shù)列模型的構(gòu)建即利用模型解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)考查解不等式．