Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，an+1=an+2n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）去掉數(shù)列{a_n}中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…，第3n項(xiàng)…，余下的項(xiàng)按順序不變，重新組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）a₁=2，因?yàn)?span id="n9irgte" class="MathJye">an+1=an+2n所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)n=2k時(shí)，Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)=

6(8 n 2 -1)

7

；當(dāng)n=2k+1時(shí)，Tn=T2k+23k+1=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

，由此能求出T_n．

解答：解：（1）a₁=2，
因?yàn)?span id="cnnjnii" class="MathJye">an+1=an+2n
所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2
…a2-a1=21
將上述等式兩邊分別相加，
得an-a1=21+22+…+2n-1=

2(1-2n-1)

1-2

，
所以an=2n．…（6分）
（2）當(dāng)n=2k時(shí)，
Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)
=

6(8k-1)

7

…（10分）
=

6(8 n 2 -1)

7

；
當(dāng)n=2k+1時(shí)，
Tn=T2k+23k+1
=

20•8k-6

7

+23k+1
=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

．…（14分）
綜上可得T_n=

6•8 n-1 2 -6 7 ，n為偶數(shù) 20•8 n-1 2 -6 7 +2 3n-1 2 ，n為奇數(shù)

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．