Question

下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為.

           

   圖1             圖2                 圖3                         圖4

（1）求出,,,;

（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式；

（3）求證：().

 

Answer 1

【答案】

（1）12,27,48,75.

（2）， ．

（3）利用“放縮法”。．

【解析】

試題分析：（1）由題意有

，

，

，

，

．                              2分

（2）由題意及（1）知，，    4分

即，

所以，

，

，

，                           5分

將上面個(gè)式子相加，得：

                                               6分

又，所以．                    7分

（3）

∴．            9分

當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．        10分

當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．   11分

當(dāng)時(shí)，

， 原不等式成立．                 13分                                                   

綜上所述，對(duì)于任意，原不等式成立．         14分

考點(diǎn)：歸納推理，不等式的證明，“裂項(xiàng)相消法”。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，注意從圖形出發(fā)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，確定“遞推關(guān)系”。不等式的證明問(wèn)題，往往需要先放縮，后求和，再證明。