Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+

3π

2

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（-

π

2

，π），求f（x）的值域；
（3）若f（α）=

1

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知中已知函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+

3π

2

），由誘導(dǎo)公式及和差角公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)，進而由正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)y=f（x）的周期和，
（2）由x∈（-

π

2

，π），分析相位角的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的值域；
（3）若f（α）=

1

5

，即sinα-cosα=

1

5

，進而利用平方法可得sin2α的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+

3π

2

）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）…（4分）
（1）∵ω=1，
∴f（x）的最小正周期T=2π  …（5分）
（2）∵x∈（-

π

2

，π），
∴x-

π

4

（-

3π

4

，

3π

4

），…（6分）
∴sin（x-

π

4

）∈[-1，1]…（7分）
∴

2

sin（x-

π

4

）∈[-

2

，

2

]…（8分）
∴f（x）的值域是[-

2

，

2

]…（9分）
（3）因為f（α）=

1

5

，即sinα-cosα=

1

5

，…（10分）
兩邊平方得1-2sinαcosα=1-sin2α=

1

25

  …（12分）
∴sin2α=

24

25

      …（14分）

點評：本題考查的知識點是兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦型函數(shù)的值域，三角函數(shù)求值，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．