Question

定義：若數(shù)列對任意，滿足（為常數(shù)），稱數(shù)列為等差比數(shù)列.
(1)若數(shù)列前項和滿足，求的通項公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，試判斷是否一定為等差比數(shù)列，并說明理由；
(3)若數(shù)列為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)，數(shù)列的前項和為， 求證：.

Answer 1

（1）數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列
（2）當時，數(shù)列是等差比數(shù)列；  
當時，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列..
（3）

試題分析：解：（1）當時，，則
當時，，則
數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，

數(shù)列是等差比數(shù)列。
設等差數(shù)列的公差為，則,
當時，數(shù)列是等差比數(shù)列；  
當時，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列.
由 
知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.
 ,

 ,   
   ①
①得      ②
①②得
 
點評：解決的關鍵是根據(jù)數(shù)列的遞推關系來得到通項公式以及錯位相減法求和，屬于基礎題。