Question

梯形的兩腰和一底如果相等,它的對角線必平分另一底上的兩個角.

已知在梯形ABCD中(如圖2-1-11),AB=DC=AD,AC和BD是它的對角線,求證:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.

圖2-1-11

Answer 1

證明:(1)等腰三角形兩底角相等(大前提),?

△DAC是等腰三角形,DA、DC是兩腰(小前提),?

∠1=∠2(結(jié)論).?

(2)兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯角相等(大前提),?

∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截出的內(nèi)錯角(小前提),?

∠1=∠3(結(jié)論).?

(3)等于同一個量的兩個量相等(大前提),?

∠2和∠3都等于∠1(小前提),?

∠2=∠3(結(jié)論),即AC平分∠BCD.?

(4)同理,DB平分∠CBA.

點評:這個證明中如果把(4)也詳細(xì)地寫出,則一共通過六次三段論的形式.因此一個命題的證明形式,確切地常叫做復(fù)合三段論的形式,或說命題的推證方

法是復(fù)合三段論法,但是事實上,每一次三段論的大前提并不寫出,某一次三段論的小前提如果是它前面某大三段論的結(jié)論,也就不再寫出了.如例3的證明可寫成:?

∵DA=DC(省略了大前提),∴∠1=∠2.?

∵AD∥BC,且被AC截得內(nèi)錯角為∠1和∠3(省略大前提).?

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD(省略大前提,小前提).?

同理,可證DB平分∠ABC.?

這樣,一般地在推論命題時所采用的這種表達(dá)方法,就叫做簡化的復(fù)合三段論法.