Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-CE-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能證明AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）法一：取CE的中點Q，連接FQ，由已知FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-CE-D的余弦值．
（Ⅱ）法二：過點F作FG⊥CE于點G，CE中點為H，連結(jié)DH，∠AGF即為二面角A-CE-D的平面角，由此能求出二面角A-CE-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD中點，∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（4分）
（Ⅱ）解法一：取CE的中點Q，連接FQ，
∵F為CD的中點，則FQ∥DE，∴DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，
又由（Ⅰ）可知FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，
建立如圖坐標(biāo)系，
則F（0，0，0），C（-1，0，0），
A（0，0，

3

），B（0，1，

3

），E（1，2，0）．
設(shè)面ACE的法向量

n

=（x，y，z），則

n • CE =x+y=0 n • AC =-x- 3 z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-

3

，-1）．
又平面CED的一個法向量為

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=|

m • n

| m |•| n |

|=

7

7

．
∴二面角A-CE-D的余弦值為

7

7

．
（Ⅱ）解法二：過點F作FG⊥CE于點G，CE中點為H，連結(jié)DH．
∵AF⊥平面CDE，∴AF⊥CE，又∵FG⊥CE，
∴CE⊥平面AFG，∴∠AGF即為二面角A-CE-D的平面角．
在等邊三角形ACD中，AF=

3

，在等腰直角三角形CDE中，F(xiàn)G=

1

2

HD=

2

2

，
故在直角三角形AFG中，tan∠AGF=

AF

FG

=

6

，
即cos∠AGF=

7

7

，則二面角A-CE-D的余弦值為

7

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．