設(shè)函數(shù)f(x)=
1
4x+2
,
(1)求證:對(duì)一切x∈R,f(x)+f(1-x)為定值;
(2)記an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
 (n∈N*),
求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=
1
4x+2
,知f(x)+f(1-x)=
1
4x+2
+
1
41-x+2
=
1
2
.所以對(duì)一切x∈R,f(x)+f(1-x)為定值
1
2

(2)由(1)知f(0)+f(1)=
1
2
,f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
,f(
2
n
)+f(
n-2
n
)=
1
2
,…,f(1)+f(0)=
1
2
,將上述n+1個(gè)式子相加,得2an=
n+1
2
,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=
1
4x+2
,
∴f(x)+f(1-x)=
1
4x+2
+
1
41-x+2

=
1
4x+2
+
4x
4+2•4x

=
2+4x
4+2•4x
=
1
2

所以對(duì)一切x∈R,f(x)+f(1-x)為定值
1
2

(2)由(1)知f(0)+f(1)=
1
2
,
f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2

f(
2
n
)+f(
n-2
n
)=
1
2
,

f(1)+f(0)=
1
2
,
將上述n+1個(gè)式子相加,得2an=
n+1
2

an=
n+1
4

Sn=
1
4
[2+3+4+…+(n+1)]

=
1
4
n(n+3)
2
=
n(n+3)
8
點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)一切x∈R,f(x)+f(1-x)為定值的證明,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2-x,x∈(-∞,1]
log81x,x∈(1,+∞)
則滿f(x)=
1
4
的x的值( 。
A、只有2B、只有3
C、2或3D、不存在

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1
4
,x∈(
π
4
,
π
2
)
,求tanx的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•順河區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-sin(2x-
π
2
)

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A.B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,c=3,f(
C
2
)=
1
4
,若向量
m
=(1,sinA)與
n
=(2,sinB)共線,求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2-x ,x<1
log4x ,x>1
,則滿足f(x)=
1
4
的x值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•崇明縣一模)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+
π
3
)+sin2x

(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;
(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,f(
C
2
)=-
1
4
,且C為銳角,S△ABC=5
3
,a=4,求c邊的長(zhǎng).

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