Question

設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線，是以直線與為漸近線，以為一個焦點(diǎn)的雙曲線．

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若與在第一象限內(nèi)有兩個公共點(diǎn)和，求的取值范圍，并求的最大值；

（3）若的面積滿足，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時的最大值為9（3）

【解析】(1)注意焦點(diǎn)在y軸上，并且由漸近線方程可得到,可求出a,b值，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（II）將拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立消y之后得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用此方程有兩個不同的正實(shí)根，確定出p的取值范圍，然后再把用坐標(biāo)表示出來，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的函數(shù)，再研究其最值即可.

（III）先把面積表示出來，在（II）的基礎(chǔ)上，先求出|AB|的長度，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出高,最后把S表示成關(guān)于p的函數(shù)，根據(jù)可建立p的方程，解出p的值.

（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：則據(jù)題得：

又雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）將代入到中并整理得：

設(shè)則

   又

當(dāng)且僅當(dāng)時的最大值為9

（3）直線的方程為：即

到直線的距離為：

又