Question

已知：

m

=（2cosωx，sinωx），

n

=（sin（ωx+

π

2

），2

3

cosωx），且f（x）=

m

•

n

+t-1，若f（x）的圖象上兩個最高點(diǎn)的距離為3π，且當(dāng)0＜x＜π時，函數(shù)f（x）的最小值為0．求表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：首先利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到f（x）的解析式，然后利用倍角公式化簡三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)．

解答： 解：由已知f（x）=

m

•

n

+t-1=2cosωxsin（ωx+

π

2

）+sinωx2

3

cosωx+t-1
=2cosωxcosωx+sinωx2

3

cosωx+t-1
=2cos²ωx+

3

sin2ωx+t-1
=cos2ωx+

3

sin2ωx+t
=2sin（2ωx+

π

6

）+t，
因為f（x）的圖象上兩個最高點(diǎn)的距離為3π，所以f（x）的周期為3π，所以ω=

1

3

，所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）+t，
且當(dāng)0＜x＜π時，函數(shù)f（x）的最小值為0，所以（

2

3

x+

π

6

）∈（

π

6

，

5π

6

），f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）+t的最小值為

1

2

+t=0，所以t=-

1

2

，
所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量數(shù)量積公式的運(yùn)用以及三角函數(shù)解析式的化簡，運(yùn)用了倍角公式等等價變換．