Question

20．已知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}-2}{4n+1}$=$\frac{1}{3}$，則無窮數(shù)列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各項和等于3．

Answer 1

分析 由已知條件求出$a=\frac{4}{3}$，由此能求出無窮數(shù)列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各項和．

解答 解：∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}-2}{4n+1}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{a}{4}=\frac{1}{3}$，解得a=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}^{n}}$=$\frac{1}{（\frac{4}{3}）^{n}}$=$（\frac{3}{4}）^{n}$，
∴無窮數(shù)列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各項和S=$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查無窮數(shù)列的各項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極限思想和無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式的合理運用．