【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值；

（2）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方．

【答案】（1）由已知，

當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值分別為，，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

（2）證明：設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，所以在區(qū)間上，，即，

所以在區(qū)間上函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方．

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最值；

（2）由題意，設(shè)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即作出證明．

解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，

當(dāng)x∈[1，e]時，f′(x)>0，

所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.

f(x)min＝f(1)＝.

(2)設(shè)F(x)＝x2＋ln x－x3，

則F′(x)＝x＋－2x2＝，

當(dāng)x∈[1，＋∞)時，F′(x)<0，

且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)時F(x)<0，

所以x2＋ln x<x3，得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，btanB+btanA=﹣2ctanB，且a=8，△ABC的面積為 ，則b+c的值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，定義域?yàn)閇0，2π]，g（x） 為f（x） 的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函數(shù)g（x） 的最大值與最小值；
（3）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣ax 在定義域上恰有2個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學(xué)的投籃命中次數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中用表示.

（1）若乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學(xué)的平均數(shù)少1，求及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差；

（2）在（1）的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)中，各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4﹣5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣4|+|x+2|
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知p：m∈R，且m＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q為假命題且p∨q為真命題，則m的取值范圍是__________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ．
（1）求角A的大��；
（2）若a=4，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）設(shè)a=1，f（x）在x=1處的切線過點(diǎn)（2，6），求b的值；
（2）設(shè)b=a2+2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設(shè)函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)g（x）的不動點(diǎn)．設(shè)a＞0，試問當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個不同的不動點(diǎn)時，這兩個不動點(diǎn)能否同時也是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)？

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