Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，上頂點為B，直線l：y=$\frac{1}{2}$x與橢圓E交于C，D兩點，且△BCD的面積為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P是橢圓E上一點，過點P引直線m，其傾斜角與直線l的傾斜角互補．若直線m與橢圓E相交，另一交點為Q，且直線m與x，y軸分別交于點M，N，求證：QM²+QN²為定值．

Answer 1

分析 （1）利用離心率及面積列式求出a、b即可．
（2）設(shè)Q（x₁，y₁）則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$，由k_m=-k₁=-$\frac{1}{2}$，可設(shè)直線m的方程為y-y₁=-$\frac{1}{2}（x-{x}_{1}）$，令y=0，得M（x₁+2y₁，0）；令x=0，得N（0，$\frac{1}{2}{x}_{1}+{y}_{1}$）．即可求QM²+QN²．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得c²=$\frac{3}{4}{a}^{2}$，b²=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，…（2分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+{4y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，得D（$\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{4}a$），
所以CD=2$\sqrt{\frac{1}{2}{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}a$…（4分）
又上頂點B（0，$\frac{a}{2}$）到直線l的距離為d=$\frac{a}{\sqrt{5}}$，
所以△ABCD的面積為s=$\frac{1}{2}$CD•d=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}a×\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}=\sqrt{2}$，
解得a²=4，即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（8分）
（2）證明：設(shè)Q（x₁，y₁）則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$，因為直線m與直線l的傾斜角互補，所以k_m=-k₁=-$\frac{1}{2}$，
所以直線m的方程為y-y₁=-$\frac{1}{2}（x-{x}_{1}）$，
令y=0，得M（x₁+2y₁，0）；令x=0，得N（0，$\frac{1}{2}{x}_{1}+{y}_{1}$）．…（10分）
所以QM²+QN²=$（2{{y}_{1}）}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}+（\frac{1}{2}{x}_{1}）^{2}$=$\frac{5}{4}{{x}_{1}}^{2}+5{{y}_{1}}^{2}$
=5（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$）=5．…（14分）

點評 本題考查了橢圓的方程求解，及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．