如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AC=BC=2,D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點(diǎn),P是CD上的點(diǎn).

(Ⅰ)求證:直線PE∥平面A1BF;

(Ⅱ)求二面角D―EC―A的大小;

(Ⅲ)求直線PE與平面A1BF的距離.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)證明:連

  ∴

  (Ⅱ)(法則一)取AC中點(diǎn)M,連DM,則DM∥BC,又BC⊥AC,∴DM⊥AC,

  ∵平面A1ACC1⊥底面ABC,且平面A1ACC1∩底面ABC=AC,∴DM⊥平面EAC.

  作MN⊥EC,連DN,據(jù)三垂線定理,得CE⊥DN,∴∠DNM為所求二面角的平面角.

  在Rt△EDC中,

  在Rt△DMN中,,

  ∴,即所求二面角的平面角

  的大小為

  (法則二)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,則C(0,0,0),D(1,1,0),E(2,0,1),=(1,1,0),,

  設(shè)平面EDC的法向量為,

  則由

  令x=1,則y=-1,z=-2,故法向量

  ,又平面ECA的一個(gè)法向量為

  ,∴

  ∴二面角D―EC―A的大小為

  (Ⅲ)(法一)由(1)可知,直線PE與平面A1BF的距離等于兩平行平面EDC與A1BF的距離,即點(diǎn)A1到平面EDC的距離,亦即A到平面EDC的距離,設(shè)A到平面EDC的距離為h,又CD⊥AB,而A1ABB1⊥平面ABC,且A1ABB1∩平面ABC=AB,∴CD⊥平面A1ABB1,∴CD⊥ED,即△CED為直角三角形.

  由,


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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.

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P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

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P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
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(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

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