已知a,b,c為都大于1的不全相等的正實數(shù),求證:
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
>ab+bc+ac
分析:由于a,b,c為都大于1的不全相等的正實數(shù),利用基本不等式得:
b2c2
a2
+
c2a2
b2
≥ 2c 2
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ 2a 2
,
b2c2
a2
+
a2b2
c2
≥2b 2
,三式相加得:
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥a 2+b 2+c 2
,
再利用基本不等式即可得到證明.
解答:證明:∵a,b,c為都大于1的不全相等的正實數(shù),
b2c2
a2
+
c2a2
b2
≥ 2c 2
,
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ 2a 2
,
b2c2
a2
+
a2b2
c2
≥2b 2

b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥a 2+b 2+c 2
,
又a2+b2≥2ab,
a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb,
∴a2+b2+c2≥2ab+2bc+2ac
所以
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ab+bc+ac

上述不等式取等條件是:當且僅當a=b=c
由題意a,b,c不全相等,所以等號取不到
所以
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
>ab+bc+ac
點評:點評:本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.使用基本不等式時一定要把握好“一定,二正,三相等”的原則.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b都是正數(shù),△ABC是平面直角坐標系xOy內(nèi),以兩點A ( a,0 )和B ( 0,b )為頂點的正三角形,且它的第三個頂點C在第一象限內(nèi).
(1)若△ABC能含于正方形D={ ( x,y )|0≤x≤1,0≤y≤1}內(nèi),試求 變量 a,b 的約束條件,并在直角坐標系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個約束等條件表示的平面區(qū)域;
(2)當( a,b )在(1)所得的約束條件內(nèi)移動時,求△ABC面積S的最大值,并求此時(a,b )的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c都是正數(shù),則
ab+2bca2+b2+c2
的最大值為
 

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已知(a,b,c∈R).

(1)若a+c=0,f(x)在[-2,2]上的最大值為,最小值為,求證:

(2)當b=4,時,對于給定的負數(shù)a,有一個最大的正數(shù)M(a)使得x∈[0,M(a)]時都有|f(x)|≤5,問a為何值時M(a)最大,并求出這個最大值M(a),證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

己知在銳角ΔABC中,角所對的邊分別為,且

(I )求角大;

(II)當時,求的取值范圍.

20.如圖1,在平面內(nèi),的矩形,是正三角形,將沿折起,使如圖2,的中點,設(shè)直線過點且垂直于矩形所在平面,點是直線上的一個動點,且與點位于平面的同側(cè)。

(1)求證:平面

(2)設(shè)二面角的平面角為,若,求線段長的取值范圍。

 


21.已知A,B是橢圓的左,右頂點,,過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M,N,交直線于點P,且直線PA,PF,PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動點,R和Q的橫坐標之和為2,RQ的中垂線交X軸于T點

(1)求橢圓C的方程;

(2)求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數(shù) ,

(Ⅰ)若上存在最大值與最小值,且其最大值與最小值的和為,試求的值。

(Ⅱ)若為奇函數(shù):

(1)是否存在實數(shù),使得為增函數(shù),為減函數(shù),若存在,求出的值,若不存在,請說明理由;

(2)如果當時,都有恒成立,試求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2005-2006學年重慶市武隆中學高二(上)期末數(shù)學模擬試卷2(解析版) 題型:解答題

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(1)若△ABC能含于正方形D={ ( x,y )|0≤x≤1,0≤y≤1}內(nèi),試求 變量 a,b 的約束條件,并在直角坐標系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個約束等條件表示的平面區(qū)域;
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