已知a，b，c都是正數(shù)，則
ab+2bca2+b2+c2
的最大值為
 
．
分析：設(shè)
ab+2bc
a2+b2+c2
=
ab+2bc
a2+kb2+(1-k)b2+c2
≤
ab+2bc
2
k
ab+2
1-k
bc
（0＜k＜1）．令2
k
=
1-k
，解得k即可得出．
解答：解：設(shè)
ab+2bc
a2+b2+c2
=
ab+2bc
a2+kb2+(1-k)b2+c2
≤
ab+2bc
2
k
ab+2
1-k
bc
（0＜k＜1）．
令2
k
=
1-k
，解得k=
1
5
．
∴
ab+2bc
a2+b2+c2
≤
ab+2bc
2
5
(ab+2bc)
=
5
2
，
且僅當(dāng)2b=
5
c=2
5
a取等號(hào)．
因此
ab+2bc
a2+b2+c2
的最大值為
5
2
．
故答案為：
5
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)和“配湊法”，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•許昌三模）已知a、b、c都是正整數(shù)且abc=8，求證：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證（1）
a2
b
≥2a-b，(2)
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足log4（16a+b）=log2
ab
，則使4a+b≥c恒成立的c的取值范圍是
（0，36]
（0，36]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3+c3≥
13
(a2+b2+c2)(a+b+c)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年河南省鄭州市新密二高高三（上）周練數(shù)學(xué)試卷3（理科）（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c都是正整數(shù)且abc=8，求證：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

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