Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，在x軸上有一點(diǎn)B，滿足AB⊥AF₂且F₁為BF₂的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若過A、B、F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，判斷橢圓C和直線l的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b）．
因?yàn)锳B⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，．…（2分）
又因?yàn)镕₁為BF₂的中點(diǎn)，所以，…（4分）
又a²=b²+c²，所以a=2c．
故橢圓的離心率．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，，Rt△ABF₂的外接圓圓心為，半徑r=a．…（8分）
所以，解得a=2，所以c=1，．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．…（11分）
由得：13x²-24x=0，
∴可得△＞0，所以直線和橢圓相交．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF₂且F₁為BF₂的中點(diǎn)，可得a，c的關(guān)系，從而可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）先求出橢圓的方程，再與直線方程聯(lián)立，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．