Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）點Q為線段PB的中點，求直線QC與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：方法一、運用空間直角坐標系的坐標法解決．以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，得到向量BD，AC，AP的坐標，運用數(shù)量積為0，得到BD⊥AP，BD⊥AC，進而證得（Ⅰ）；
再由平面PAC的一個法向量為

BD

，運用向量的夾角公式，即可得到直線QC與平面PAC所成角的正弦值．
方法二、通過平面幾何中勾股定理的逆定理，計算得到BD⊥AC，再由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證（Ⅰ）；連PO，取PO中點H，連QH，由QH⊥平面PAC，得到∠QCH是直線QC與平面PAC所成的角．再解三角形
QCH，即可得到所求值．

解答： （法一）（Ⅰ）證明：以A為原點，建立空間直角坐標系，如圖，
B（4，0，0），D（0，2

2

，0），P（0，0，4），A（0，0，0），
C（2，2

2

，0），Q（2，0，2），
則

BD

=（-4，2

2

，0），

AP

=（0，0，4），

AC

=（2，2

2

，0），

QC

=（0，2

2

，-2），
∴

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=-4×2+2

2

×2

2

+0=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；      
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面PAC的一個法向量為

BD

=（-4，2

2

，0），
設(shè)直線QC與平面PAC所成的角為θ，
則sinθ=

| QC • BD |

| QC |•| BD |

=

8

12 • 24

=

2

3

，
所以直線QC與平面PAC所成的角的正弦值為

2

3

．                
（法二）（Ⅰ）證明：設(shè)AC∩BD=O，
∵CD∥AB，∴OB：OD=OA：OC=AB：CD=2，
Rt△DAB中，DA=2

2

，AB=4，∴DB=2

6

，∴DO=

1

3

DB=

2 6

3

，
同理，OA=

2

3

CA=

4 3

3

，∴DO²+OA²=AD²，即∠AOD=90°，∴BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；       
（Ⅱ）解：連PO，取PO中點H，連QH，則QH∥BO，
由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直線QC與平面PAC所成的角．   
由（Ⅰ）知，QH=

1

2

BO=

2 6

3

，
取OA中點E，則HE=

1

2

PA=2，又EC=

1

2

OA+OC=

4 3

3

Rt△HEC中，HC²=HE²+EC²=

28

3

∴Rt△QHC中，QC=2

3

，∴sin∠QCH=

QH

QC

=

2

3

，
∴直線QC與平面PAC所成的角的正弦值為

2

3

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)及運用，考查線面所成的角的求法，考查運算能力，屬于中檔題．