Question

對于一切實(shí)數(shù)x，若|x－3|＋|x＋2|＞a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：|x－3|＋|x＋2|的幾何意義為：數(shù)軸上一動點(diǎn)P(x)是到定點(diǎn)A(3)、B(－2)兩點(diǎn)的距離之和． 　　當(dāng)P在線段AB之間時(shí)PA＋PB最短，且PA＋PB＝AB＝5． 　　∴若對于一切x∈R，即對數(shù)軸上任一點(diǎn)P，都有|x－3|＋|x＋2|＞a，則必需a＜5． 　　解法二：令y＝|x－3|＋|x＋2|＝ 　　此函數(shù)的最小值為5． 　　∴當(dāng)a＜5時(shí)，恒有y＞a． 　　解法三：|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|≥5． 　　當(dāng)且僅當(dāng)(x－3)(x＋2)≤0，即－2≤x≤3時(shí)等號成立． 　　要使|x－3|＋|x＋2|＞a在R上恒成立． 　　則必有a＜5． 　　分析：本題可以利用絕對值的幾何意義來觀察求解，也可通過構(gòu)造函數(shù)及其圖象的方法求解，當(dāng)絕對值的幾何意義不明顯時(shí)，此法更具一般性．還可利用含絕對值的不等式的性質(zhì)求解．