(Ⅰ)求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件(用
表示);
(Ⅱ)設(shè)為兩實(shí)數(shù),滿(mǎn)足
,且
,若
,
求證:函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為
(閉區(qū)間
的長(zhǎng)度定義為
).
本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象以及命題之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力.
解:(1)由的定義可知,
(對(duì)所有實(shí)數(shù)
)等價(jià)于
(對(duì)所有實(shí)數(shù)
)這又等價(jià)于
,即
對(duì)所有實(shí)數(shù)
均成立. (*)
由于,故其最大值為
,
故(*)等價(jià)于,即
,這就是所求的充分必要條件。
(2)分兩種情形討論
(i)當(dāng)時(shí),由(1)知
(對(duì)所有實(shí)數(shù)
),
則由
及
易知
,
再由的單調(diào)性可知,
函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度
為(參見(jiàn)示意圖1)
(ii)時(shí),不妨設(shè)
,則
,于是
當(dāng)時(shí),有
,從而
;
當(dāng)時(shí),有
從而 ;
當(dāng)時(shí),
,及
,由方程
解得
圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
⑴顯然
,
這表明在
與
之間。由⑴易知
綜上可知,在區(qū)間上,
(參見(jiàn)示意圖2)
故由函數(shù)及
的單調(diào)性可知,
在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為
,由于
,即
,得
⑵
故由⑴、⑵得
綜合(i)(ii)可知,在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 |
2 |
x |
a |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x | -1 | -0.72 | -0.44 | -0.16 | 0.12 | 0.4 |
y的近似值 | 4.00 | 1.15 | 0.02 | -0.14 | 0.11 | 0.08 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿(mǎn)分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿(mǎn)足;對(duì)任意
,存在常數(shù)
,都有
成立,則稱(chēng)
是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)
的上界。已知函數(shù)
,
當(dāng)
時(shí),求函數(shù)
在
上的值域,并判斷函數(shù)
在
上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;若函數(shù)
在
上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;若
,求函數(shù)
在
上的上界T的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆湖北孝感高中高三年級(jí)九月調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_ST.files/image002.png">,若
在
上為增函數(shù),則稱(chēng)
為“一階比增函數(shù)”;若
在
上為增函數(shù),則稱(chēng)
為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù),若
且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函數(shù)值由下表給出,
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請(qǐng)問(wèn):是否存在常數(shù),使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿(mǎn)足;對(duì)任意
,存在常數(shù)
,都有
成立,則稱(chēng)
是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)
的上界。
已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
上的值域,并判斷函數(shù)
在
上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)在
上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若,求函數(shù)
在
上的上界T的取值范圍。
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