, (為常數(shù)).函數(shù)定義為:對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù),

(Ⅰ)求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件(用表示);

(Ⅱ)設(shè)為兩實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,且,若,

求證:函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為(閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為).

本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象以及命題之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力.

解:(1)由的定義可知,(對(duì)所有實(shí)數(shù))等價(jià)于

(對(duì)所有實(shí)數(shù))這又等價(jià)于,即

對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立.        (*)

  由于,故其最大值為,

  故(*)等價(jià)于,即,這就是所求的充分必要條件。

(2)分兩種情形討論

     (i)當(dāng)時(shí),由(1)知(對(duì)所有實(shí)數(shù)),

則由易知,

再由的單調(diào)性可知,

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度

(參見(jiàn)示意圖1)

(ii)時(shí),不妨設(shè),則,于是

   當(dāng)時(shí),有,從而;

當(dāng)時(shí),有

從而  ;

當(dāng)時(shí),,及,由方程

      解得圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

                          ⑴顯然,

這表明之間。由⑴易知

 

綜上可知,在區(qū)間上,   (參見(jiàn)示意圖2)

故由函數(shù)的單調(diào)性可知,在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為,由于,即,得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合(i)(ii)可知,在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函f(x)=In(ax+1)+
1
2
x2
-
x
a
+b(a,b為常數(shù),a>0)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程y=2,求a、b的值;
(2)當(dāng)b=2時(shí)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x -1 -0.72 -0.44 -0.16 0.12 0.4
y的近似值 4.00 1.15 0.02 -0.14 0.11 0.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點(diǎn),寫(xiě)出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù),若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿(mǎn)分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿(mǎn)足;對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱(chēng)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)的上界。已知函數(shù),當(dāng)時(shí),求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

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已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_ST.files/image002.png">,若上為增函數(shù),則稱(chēng)為“一階比增函數(shù)”;若上為增函數(shù),則稱(chēng)為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.

(Ⅰ)已知函數(shù),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)已知,的部分函數(shù)值由下表給出,

 求證:;

(Ⅲ)定義集合

請(qǐng)問(wèn):是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.

 

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已知函數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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