Question

已知函數(shù)y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函數(shù)的最小值及此時的x的集合．
（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的最小值及此時的x的集合；
（2）解不等式組2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）即可求得該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵y=sin²x+sin2x+3cos²x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最小值2-

2

，
即f（x）_min=2-

2

，x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
∴該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與最值，屬于中檔題．