Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1，g（x）=ax-1-lnx
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)K，使

K

f(x)

≤ex-f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域以及導(dǎo)數(shù)，通過(guò)令f'（x）＞0，令f'（x）＜0解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求解f（x）的最小值．
（Ⅱ）求出g（x）的定義域，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，通過(guò)當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=0，通過(guò)列表可以推出：當(dāng)a＞0 時(shí)，g（x）在區(qū)間上(

1

a

，+∞)是單調(diào)增函數(shù)，在上（0，

1

a

）是單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅲ）轉(zhuǎn)化

K

f(x)

≤ex-f′(x)，恒成立，為K≤（ex-1-lnx）•f（x）恒成立，利用（Ⅱ）g（x）=ex-1-lnx在區(qū)間(0，

1

e

)上是減函數(shù)，在區(qū)間(

1

e

，+∞)上是增函數(shù)，當(dāng)x=

1

e

時(shí)，g（x）=ex-1-lnx的最小值，由（Ⅰ）可知，當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）取得最小值，從而函數(shù)y=（ex-1-lnx）•f（x）在x=

1

e

時(shí)，取得最小值，求出K的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=1+lnx．-------------（1分）
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在(0，

1

e

)單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)單調(diào)遞增．------------------------（3分）
所以，當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）取得最小值1-

1

e

．---------------------------------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax-1-lnx，∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞減函數(shù)；---------------（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，∴x=

1

a

∈(0，+∞)，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 a ）	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

從上表可以看出：當(dāng)a＞0 時(shí)，f（x）在區(qū)間上(

1

a

，+∞)是單調(diào)增函數(shù)--------------（7分）
在上（0，

1

a

）是單調(diào)遞減函數(shù)--------------------------（8分）
（Ⅲ）∵f(x)≥1-

1

e

＞0ex-f'（x）=ex-1-lnx所以

K

f(x)

≤ex-f′(x)，恒成立
即K≤（ex-1-lnx）•f（x）恒成立---------------------------------（9分）
由（Ⅱ）可知，當(dāng)a=e，g（x）=ex-1-lnx在區(qū)間(0，

1

e

)上是減函數(shù)，在區(qū)間(

1

e

，+∞)上是增函數(shù)
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，g（x）=ex-1-lnx的最小值為g(

1

e

)=1----------------（11分）
又由（Ⅰ）可知，當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）取得最小值f(

1

e

)=1-

1

e

＞0-----------12 分
故函數(shù)y=（ex-1-lnx）•f（x）當(dāng)x=

1

e

時(shí)，取得最小值1-

1

e

∴K≤1-

1

e

---------------（13分）
即K的最大值為1-

1

e

----------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最值，難度大是壓軸題．