Question

（上海卷理20）設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x²＝2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

⑵已知點(diǎn)P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y²＝1上，p＝，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x²－4y²＝1上.

⑶已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，

解方程組     得  即點(diǎn)的坐標(biāo)為    ……3分

（2）【證明】由方程組    得    即點(diǎn)的坐標(biāo)為 …5分

時(shí)橢圓上的點(diǎn)，即    ，

因此點(diǎn)落在雙曲線上                        ……8分

（3）設(shè)所在的拋物線方程為                ……10分

將代入方程，得，即   ……12分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在拋物線上；

當(dāng)時(shí)，  ，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在圓上；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在橢圓上；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在雙曲線上； ……16分