Question

【題目】設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：.其中稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標(biāo)，如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都是來(lái)自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組，的關(guān)系數(shù)為.

（1）若，，設(shè)是的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求的最大值；

（2）若，，且，為的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組，求的最大值；

（3）若數(shù)組中的“元”滿足，設(shè)數(shù)組含有四個(gè)“元”，且，求與的所有含有三個(gè)“元”的子數(shù)組的關(guān)系數(shù)（）的最大值.

Answer 1

【答案】（1）2（2）1（3）

【解析】

（1）根據(jù)題中“元”的定義，列出所有的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，當(dāng)取到時(shí)，取到最大值；

（2）需要進(jìn)行分類討論，分為中含0和不含0這個(gè)“元”兩種具體情況進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行合理放縮即可求得最值；

（3）可以借鑒（2）中解題方法，分為和兩種情況，再結(jié)合基本不等式性質(zhì)經(jīng)行求解即可

（1）由題，列出所有符合題意的子數(shù)組：，，，，

，，由定義，，計(jì)算可得，當(dāng)時(shí)，；

（2）由，可知，實(shí)數(shù)具有對(duì)稱性，故分為中含0和不含0這個(gè)“元”兩種具體情況進(jìn)行分類討論；

①當(dāng)0是中的“元”時(shí)，由于中的三個(gè)“元”都相等及中三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可只計(jì)算的最大值，，

由可得，

故當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值，故；

②當(dāng)不是中的“元”時(shí)，

又，根據(jù)同向可加性可得

，即，則

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故；

綜上所述，；

（3）解法和（2）接近，，，根據(jù)及

的對(duì)稱性，分為和兩種情況進(jìn)行求解；

當(dāng)時(shí)，為了保證不等式的等價(jià)性，需對(duì)做變形處理，得

，此時(shí)

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

綜上所述，