Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3bx²+3cx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則b²+c²的范圍為

 

．

Answer 1

分析：由f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．正確理解b²+c²的含義是距離的平方，再結(jié)合線性規(guī)劃求出答案即可．

解答：解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由題意知方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，
且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即滿足下列條件
2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．
故有圖中四邊形ABCD即是滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域．
則b²+c²表示點(diǎn)（b，c）與原點(diǎn)距離的平方．
根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式與點(diǎn)到直線的距離公式可得：b²+c²的范圍為[

1

5

，

17

4

]．
故答案為[

1

5

，

17

4

]．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉導(dǎo)數(shù)與實(shí)根分布問題的處理方法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用線性規(guī)劃問題求最值（距離的平方、在y軸上的截距、直線的斜率），像這種綜合性較強(qiáng)的題目是學(xué)生的難點(diǎn)也是高考考查的重點(diǎn)．