Question

若點(diǎn)P、Q分別在函數(shù)y＝e^x和函數(shù) y＝lnx的圖象上，則P、Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是     ．

Answer 1

解析試題分析：考慮到兩曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線(xiàn)y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線(xiàn)上斜率為1的切線(xiàn)方程，從而得此距離。解：∵曲線(xiàn)y=e^x與曲線(xiàn)y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，故可先求點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的最近距離d，設(shè)曲線(xiàn)y=e^x上斜率為1的切線(xiàn)為y=x+b，∵y’=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1 ，∴丨PQ丨的最小值為2d=2
考點(diǎn)：互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法，同時(shí)考查了化歸的思想方法，屬于中檔題