Question

已知7sinα=3sin（α+β）．求證：2tan

2α+β

2

=5tan

β

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：證明題

分析：由已知可得10sinα=3[sin（α+β）+sinα]可得10sin

α

2

cos

α

2

=3sin（

2α+β

2

）cos

β

2

，同理由已知可得4sin

α

2

cos

α

2

=3cos（

2α+β

2

）sin

β

2

，兩式相除得即可命題得證．

解答： 證明：∵7sinα=3sin（α+β）
∴10sinα=3[sin（α+β）+sinα]
10sin

α

2

cos

α

2

=3sin（

2α+β

2

）cos

β

2

     （1）
∴4sinα=3（sin（α+β）-sinα）
4sin

α

2

cos

α

2

=3cos（

2α+β

2

）sin

β

2

      （2）
兩式相除得

5

2

=

tan 2α+β 2

tan β 2

．
∴2tan

2α+β

2

=5tan

β

2

．
命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，和差化積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．