Question

18．函數(shù)f（x）=3sin（πx）-$\frac{1}{1-x}$，x∈[-3，5]的所有零點(diǎn)之和為8．

Answer 1

分析 設(shè)t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為g（t）=2sinπt-$\frac{1}{t}$，由于g（x）是奇函數(shù)，觀察函數(shù)y=2sinπt與y=$\frac{1}{t}$的圖象可知，在[-3，5]上，兩個(gè)函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)之和為0，從而 x₁+x₂+…+x₇+x₈的值．

解答 解：設(shè)t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為：x∈[-3，5]，
g（t）=2sin（π-πt）-$\frac{1}{t}$=2sinπt-$\frac{1}{t}$，其中，t∈[-4，4]，
因g（-t）=-g（t），
故g（t） 是奇函數(shù)，觀察函數(shù) y=2sinπt（紅色部分）
與曲線y=$\frac{1}{t}$ （藍(lán)色部分）的圖象可知，
在t∈[-3，3]上，兩個(gè)函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的交點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)之和為0，即t₁+t₂+…+t₇+t₈=0，
從而x₁+x₂+…+x₇+x₈=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．