【題目】如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且ABAD=2,AA1,∠BAD=120°.

(1)求異面直線A1BAC1所成角的余弦值;

(2)求二面角BA1DA的正弦值.

【答案】(1) .(2)

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線A1BAC1的方向向量,根據(jù)向量數(shù)量積求出方向向量夾角,最后根據(jù)異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補(bǔ)可得夾角的余弦值;(2)根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系,得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出各半平面的法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求出法向量的夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系確定二面角的正弦值.

試題解析:解:在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)AAEAD,交BC于點(diǎn)E.

因?yàn)?/span>AA1平面ABCD,

所以AA1AEAA1AD.

如圖,以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz.

因?yàn)?/span>AB=AD=2,AA1=, .

.

(1) ,

.

因此異面直線A1BAC1所成角的余弦值為.

(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為.

設(shè)為平面BA1D的一個(gè)法向量,

,

不妨取x=3,則,

所以為平面BA1D的一個(gè)法向量,

從而,

設(shè)二面角B-A1D-A的大小為,則.

因?yàn)?/span>,所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值為.

點(diǎn)睛:利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”:破“建系關(guān)”,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;破“求坐標(biāo)關(guān)”,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);破“求法向量關(guān)”,求出平面的法向量;破“應(yīng)用公式關(guān)”.

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