Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）+f（1-x）及的值；
（2）是否存在自然數(shù)a，使對(duì)一切n∈N都成立，若存在，求出自然數(shù)a的最小值；不存在，說明理由；
（3）利用（2）的結(jié)論來比較和lg（n�。�（n∈N）的大�。�

Answer 1

解：（1）f（x）+f（1-x）
=
=
=
=1．

=+
=4+
=．
（2）假設(shè)存在自然數(shù)a，使對(duì)一切n∈N都成立．
由，
得，
當(dāng)a=1，2時(shí)，不等式aⁿ＞n²顯然不成立．
當(dāng)a≥3時(shí)，aⁿ≥3ⁿ＞n²，
當(dāng)n=1時(shí)，顯然3＞1，
當(dāng)n≥2時(shí)，=2n²+1＞n²成立，
則 3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N都成立．
所以存在最小自然數(shù)a=3．
（3）由3ⁿ＞n²?（n∈N），
所以，，…，，
相乘得，＞lgn!成立．
分析：（1）f（x）+f（1-x）===1．
=+=4+，由此能求出其結(jié)果．
（2）假設(shè)存在自然數(shù)a，使對(duì)一切n∈N都成立．由，得，由此能夠證明存在最小自然數(shù)a=3．
（3）由3ⁿ＞n²?（n∈N），所以，，…，，由此能比較和lg（n�。�（n∈N）的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．