Question

（A題）已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）求證：；
（2）若λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，利用基本不等式1=x+y+z≥3＞0可求得0＜≤，同理即可證得++≥27；
（2）利用x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²及（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，即可證得≥，而λ≤，從而可得答案．
解答：證明（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴1=x+y+z≥3＞0，
∴0＜≤，
∴++≥=≥=27，
故++≥27當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時等號成立…（6分）
（2）∵x，y，z∈R⁺，x+y+z=1且λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，
∴λ≤恒成立，
∵x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²，
又∵（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，
∴x²+y²+z²≥，
∴x³+y³+z³≥（x²+y²+z²）⇒≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時等號成立．
∴λ≤，故實數(shù)λ的最大值為…（14分）
點評：本題考查不等式的證明，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想，考查邏運算與輯推理證明的能力，屬于難題．