Question

[選做題]在下面A，B，C，D四個(gè)小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE與AC交于點(diǎn)F，判斷BE是否平分∠ABC，并說(shuō)明理由．
B．選修4-2：短陣與變換
已知矩陣M=

1 2 0 0 2

，矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線(xiàn)y=sinx變?yōu)榍�線(xiàn)C，求C的方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sin(θ+

π

4

)，求曲線(xiàn)C的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：A．BE平面∠ABC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠D=∠CAD，∠ABC=∠ACB．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)而可得ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． 
B．設(shè)P（x，y）是所求曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，它是曲線(xiàn)y=sinx上點(diǎn)P₀（x₀，y₀）在矩陣M變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換可得y₀=sinx₀，從而

1

2

y0=sin2x，從而可求曲線(xiàn)C的方程．
C．曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ=4sin(θ+

π

4

)，可化為ρ=2

2

（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ，化簡(jiǎn)可得普通方程；
D．注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3為定值，利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x×1+y×1+z×1）²=9，
，從而得解．

解答：A．證明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD．  …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．  …（10分）
B．解：設(shè)P（x，y）是所求曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，它是曲線(xiàn)y=sinx上點(diǎn)P₀（x₀，y₀）在矩陣M變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則有

x y

=

1 2 0 0 2

x0 y0

，即

x= 1 2 x0 y=2y0

，…（5分）

所以

x0=2x y0= 1 2 y

，又點(diǎn)P₀（x₀，y₀）在曲線(xiàn)y=sinx上，
即y₀=sinx₀，從而

1

2

y0=sin2x，
所求曲線(xiàn)C的方程為y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ=4sin(θ+

π

4

)，可化為ρ=2

2

（sinθ+cosθ），…（5分）
化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2

2

x-2

2

y=0，
即(x-

2

)2+(y-

2

)2=4．…（10分）
D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3為定值，
利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x×1+y×1+z×1）²=9，
…（5分）
從而x²+y²+z²≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取“=”號(hào)，
所以x²+y²+z²的最小值為3．   …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是系列4的知識(shí)，考查基礎(chǔ)，考查學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力．