Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；
（Ⅱ）求證: 當時，有；
（Ⅲ）設(shè),當時,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）當時，取得最大值；
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．
（Ⅲ）整數(shù)的最大值是. 

解析試題分析：（Ⅰ）,所以 ．
當時，；當時，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當時，取得最大值；           ………………3分
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．………………7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對任意恒成立．令，則，
令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.     ……………13分
考點：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性及不等式中的應(yīng)用。
點評：較難題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，解題時注意函數(shù)的定義域，避免出錯。