Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x²-2x+13
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）畫該函數的圖象；
（3）當x∈[t，5]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，得到f（x）+f（x+1）=2ax²+（2a+2b）x+a+b+2c=2x²-2x+13，由此求出a，b，c的值，從而得到函數f（x）的解析式．
（2）先求出該函數的對稱軸和頂點為坐標，再求出它與y軸的交點坐標，然后結合函數的對稱性作出這條開口向上的拋物線．
（3）x∈[t，5]，f（x）=x²-2x+7=（x-1）²+6，當-3≤t≤5時，函數f（x）的最大值為f（5）=f（-3）=9+6+7=22．當t＜-3時，函數f（x）的最大值為f（t）=（t-1）²+6．

解答：解：（1）f（x）+f（x+1）=ax²+bx+c+a（x+1）²+b（x+1）+c=2ax²+（2a+2b）x+a+b+2c
∵f（x）+f（x+1）=2x²-2x+13∴

2a=2 2a+2b=-2 a+b+2c=13

∴

a=1 b=-2 c=7

∴f（x）=x²-2x+7
（2）該函數是對稱軸為x=1，頂點為（1，6），與x軸無交點，與y軸交于（0，7），開口向上的拋物線．

（3）∵x∈[t，5]，f（x）=x²-2x+7=（x-1）²+6，
∴當-3≤t≤5時，函數f（x）的最大值為f（5）=f（-3）=9+6+7=22．
當t＜-3時，函數f（x）的最大值為f（t）=（t-1）²+6．
∴f(x)max=

22，-3≤t≤5 (t-1)2+6，t＜-3

．

點評：本題考查二次函數的圖象和性質，解題時要認真審題，注意配方法和合理運用和圖形結合思想的巧妙運用．