Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，AB為過(guò)點(diǎn)F₂且斜率為1的弦，則$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的值為$\frac{46}{5}$．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的值．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，知a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，則c=$\sqrt{3}$．
∴${F}_{1}（-\sqrt{3}，0），{F}_{2}（\sqrt{3}，0）$，
則AB所在直線方程為y-0=1×（x-$\sqrt{3}$），即y=x-$\sqrt{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$5{x}^{2}-8\sqrt{3}x+8=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$．
$\overrightarrow{{F}_{1}A}=（{x}_{1}+\sqrt{3}，{y}_{1}），\overrightarrow{{F}_{1}B}=（{x}_{2}+\sqrt{3}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3+{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3$
=$2{x}_{1}{x}_{2}+6=2×\frac{8}{5}+6=\frac{46}{5}$．
故答案為：$\frac{46}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．